மீதித் தேற்றம்(l2)

ஆர்வமூட்டல்:
          பல்லுறுப்புக் கோவை என்றால் என்ன?
          பல்லுறுப்புக் கோவையினை எவ்வாறு வகுப்பாய்?
          பல்லுறுப்புக் கோவையின் வகுத்தல் விதியின் வடிவத்தைக் கூறுக.
விளக்குதல்:
           பல்லுறுப்புக் கோவையைச் சிக்கலான நீள் வகுத்தல் முறையில் வகுக்காமலேயே அதன் மீதியைக் காண மீதித் தேற்றம் பயன்படுகிறது.
         P(x) ஐ (x+a)  ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(-a)
         P(x) ஐ (x-a)  ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(a)
         P(x) ஐ (ax+b)  ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(-b/a)
         P(x) ஐ (ax-b)  ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(b/a)
எ.கா:f(x)= x^3+3x^2+3x+1 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையை x+1 ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க்
தீர்வு:
       f(x)=x^3+3x^2+3x+1 
       f(x)=(-1)^3+3(-1)^2+3(-1)+1
              =-1+3-3+1
              =0
மீதி=0
முடிவு:
     பல்லுறுப்புக் கோவையின் மீதித் தேற்றத்தை தொகுத்துக் கூறல்

சாய்சதுரம் அமைத்தல்

சாய்சதுரத்தின் பண்புகள்:
      அடுத்துள்ள பக்கங்கள் சமமாக உள்ள ஓர் இணைகரம் சாய்சதுரம்.

• அனைத்துப் பக்கங்களும் சமம்.
• எதிர்க் கோண அளவுகள் சமம்
• மூலை விட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக இரு சமக் கூறிடுகின்றன.
• எவையேனும் இரு அடுத்துள்ள கோண அளவுகளின் கூடுதல் 180° ஆகும்.
• மூலைவிட்டங்கள் அளவில் சமமற்றவை.

சாய்சதுரம் அமைக்கத் தேவையான அளவுகள்:

• ஒரு பக்கம் , ஒரு மூலைவிட்டம்
• ஒரு பக்கம் , ஒரு கோணம்
• இரண்டு  மூலைவிட்டங்கள்
• ஒரு மூலைவிட்டம் , ஒரு கோணம்

சாய்சதுரத்தின் பரப்பு = 1/2*d1*d2 ச.அ.
d1,d2  என்பன சாய்சதுரத்தின்  மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் ஆகும்.

தனிவட்டி காலம் வரைபடம்

அசோக் ரூ.10000 ஆண்டுக்கு 8% என்ற வட்டி வீதத்தில் ஒரு வங்கியில் முதலீடு செய்துள்ளார். தனி வட்டிக்கும் காலத்திற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைக் காட்டும் ஒரு நேர்க்கோட்டு வரைபடத்தை வரைக. மேலும் 5 ஆண்டுகளில் கிடைக்கும் தனி வட்டியைக் காண்க.
தீர்வு:
தனி வட்டி= (Pnr)/100
அசல் P =10000
காலம்  n =?
வட்டி விகிதம் r =8%
I= ( P*n*r)/100
I=(10000* n* 8)/100
I=800n
 nன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு I ன் மதிப்புகளை அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.
பின்னர் புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்கும் போது ஒரு நேர்க்கோடு கிடைக்கும்.
5 ஆண்டுகளுக்கு கிடைக்கும் தனிவட்டி ரூ.4000 ஆகும்.

சதுரத்தின் பரப்பளவு மற்றும் சுற்றளவு - பக்கம் தொடர்பு

சதுரத்தின்  சுற்றளவு - பக்கம்
   
     சதுரத்தின்  சுற்றளவு என்பது அதன் பக்கத்தைப் போன்று  நான்கு  மடங்கு ஆகும்.
அதாவது P=4a
P என்பது   சுற்றளவு
a= பக்கம்
a ன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு  P ன் மதிப்புகளை அட்டவணைப்படுத்தி அனைத்துப் புள்ளிகளையும் இணைக்கிறோம்.
P=4a என்பது நேர்க்கோட்டு வரைபடம் 

காலம் தொலைவு வரைபடம்

அமுதா மணிக்கு 3 கி.மீ வேகத்தில் நடக்கிறாள். காலத்திற்கும் தொலைவிற்குமிடையே  உள்ள உறவைக் காட்டும் நேர்க்கோட்டு வரைபடம் வரைக.
தீர்வு:
 அமுதா மணிக்கு 3 கி.மீ வேகத்தில் நடக்கிறார், இதன் பொருள் அவர் 1 மணி நேரத்தில் 3 கி.மீ, 2 மணி நேரத்தில் 6 கி.மீ, 3 மணி நேரத்தில் 9 கி.மீ  என்றவாறு நடக்கிறார்  என்பதாகும்.
ஆகவே, 
காலம்.    0   1   2   3   4   5
தூரம்       0   3   6  9   12  15
புள்ளிகள்: (0,0) , (1,3), (2,6), (3,9), (4,12), (5,15)
அனைத்துப் புள்ளிகளையும் இணைக்கும் போது ஒரு நேர்க்கோட்டு வரைபடம் கிடைக்கும்
 x, y ஆகியவற்றிற்கிடையே உள்ள தொடர்பு
தொலைவு= வேகம்* காலம்
y=3x

கார்ட்டீசியன் தளத்தில் புள்ளிகளைக் குறித்தல்

வரைபடத்தாளில் ஒரு புள்ளிகயைக் குறித்தல்

    (4,5) என்ற புள்ளியை வரைபடத்தாளில் குறி.

தீர்வு:

X'OX, Y'OY ஆகிய இரு எண் கோடுகளை வரைக. அவை ஆதிப்புள்ளி O ல் வெட்டிக் கொள்கின்றன.

x,y அச்சுக்களில் அளவுகளைக் குறிக்கிறோம்.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி P(4,5).  இங்கு P யின் x அச்சுத் தொலைவு 4, y அச்சுத் தொலைவு 5 ஆகும்.

   இவ்விரண்டும் மிகை. எனவே P(4,5) என்ற புள்ளியை முதற் கால்பகுதியில் அமையும்.

 x,y அச்சுக்களின் தொலைவுகளை  வரைபடத் தாளில் குறித்து அவற்றின் அமைவிடங்களை குறிப்பிட வேண்டும்.

ஆதி எண்

100 மாணவர்கள் உள்ள குழுவில் 85 மாணவர்கள் தமிழ் பேசுபவர்கள், 40 மாணவர்கள்  ஆங்கிலம் பேசுபவர்கள், 20 மாணவர்கள் பிரெஞ்சு பேசுபவர்கள், 32 பேர் தமிழ் மற்றும் ஆங்கிலமும், 13 பேர் ஆங்கிலம் மற்றும் பிரெஞ்சும் , 10 பேர் தமிழ் மற்றும் பிரெஞ்சும் பேசுவார்கள் . ஒவ்வொரு மாணவரும் குறைந்தது ஒரு மொழியாவது பேசுகிறாரஎ எனில் 3 மொழிகளும் பேசும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
தீர்வு:
   A என்பது தமிழ் , B என்பது ஆங்கிலம்,  C என்பது பிரெஞ்சு மொழி பேசும் மாணவர்களின் கணங்கள் என்க.
n(AUBUC)=100, n(A)=85, n(B)=40 , n(C)=20, n(AnB)=32, n(BnC)=13, n(AnC)=10
விதியின்படி 
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB) -n(BnC)- n(AnC)+n(AnBnC)
100=85+40+20-32-13-10+n(AnBnC)
n(AnBnC)=100-90=10
 ஆகவே 10 மாணவர்கள் மூன்று மொழிகளையும் பேசுபவர்கள்.

தொகுமுறை வகுத்தலைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்துதல்

X^3+13x^2+32x+27 ஐ நேரிய காரணிகளாகக் காரணிப்படுத்துக.
தீர்வு:
   P(x)=X^3+13x^2+32x+27  என்க
அனைத்து உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+13+32+20=66 

அனைத்து உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் பூச்சியம் எனில் p(x) க்கு (x-1) ஒரு காரணியாகும். 
எனவே, P(x)=X^3+13x^2+32x+27  க்கு (x-1) ஒரு காரணியல்ல.
இரட்டைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்கள் மற்றும் மாறிலியின்  கூடுதல் =13+20=33
ஒற்றைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்=1+32=33
எனவே, P(x)=X^3+13x^2+32x+27  க்கு (x+1) ஒரு காரணி

தொகுமுறை வகுத்தல்

வகுபடும் கோவை p(x)
வகுக்கும் கோவை d(x)
தொகுமுறை வகுத்தலின் படிகள்

• வகுபடும் கோவை  மற்றும் வகுக்கும் கோவை இரண்டையும் திட்ட வடிவிற்கு மாற்றுக.
• வகுபடும் கோவையின் பூச்சியத்தைக் காண்க.
• வகுபடும் கோவையின் பூச்சியத்தை முதல் வரிசைக்கு முன்னால் எழுதுக. இரண்டாம் வரிசையின் பூச்சியத்தை முதல் உறுப்புக்குக் கீழே எழுதுக.
• இரண்டாம், மூன்றாம் வரிசையைப் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்.

மூன்றாம் வரிசையில் உள்ள கடைசி உறுப்பைத் தவிர ஏனைய உறுப்புகள் அனைத்தும் ஈவின் கெழுக்கள் ஆகும்.

ஆயத்தொலை வடிவியல்

கார்டீசியன் தளத்தில் புள்ளிகளைக்குறித்தல்
     (4,5) என்ற புள்ளியைக் குறித்தல்

4,5) என்ற புள்ளியைக் கார்ட்டீசியன் தளத்தில் குறிக்க , x அச்சில் 4 அலகுகள் நகர்ந்து அங்கிருந்து ஒரு செங்குத்துக் கோடு x=4  வரைய வேண்டும்.
      இதேபோல் y அச்சில் 5 அலகுகள் நகர்ந்து அங்கிருந்து  ஒரு கிடைமட்டமாக கோடு வரைய வேண்டும்.
      இந்த இரு கோடுகள்  சந்திக்கும்  இடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில் புள்ளி (4,5)  ஆகும்.

மூவுறுப்புக் கோவைகளைக் காரணிப்படுத்துதல்

ax^2+bx+c ன் நேரிய காரணிகள் (kx+m) மற்றும் (lx+n) என்ற அமைப்பில் இருக்கும்.
எனவே  ax^2+bx+c = (kx+m)(lx+n) =klx^2+(lm+kn)x+mn
   x^2, x ன் கெழு மற்றும் மாறிலி உறுப்புக்களை இருபுறமும் ஒப்பீடு செய்யும் போது a=kl , b=(lm+kn) , c=mn எனக் கிடைக்கும்.
எ.கா:
காரணிப்படுத்துதல்  2x^2+15x+27
தீர்வு:
 ax^2+bx+c  உடன் 2x^2+15x+27 ஐ சமப்படுத்த 
a=2 , b=15 , c =27
பெருக்கற்பலன் ac=2*27=54  மற்றும் கூடுதல்  b =15
6,9 என்ற காரணிகள்  b=15 & ac=54 என்பதை நிறைவு  செய்கிறது.
2x^2+15x+27 = 2x^2+6x+9x+27 
                         =2x(x+3)+9(x+3)
2x^2+15x+27  =(x+3)(2x+9)

சர்வசம முக்கோணங்கள்

சர்வசம முக்கோணங்கள்
    ஒரு முக்கோணத்தின்  அனைத்துப் பக்கங்களும் அனைத்துக் கோணங்களும்  மற்றொரு  முக்கோணத்தின்  அனைத்துப் பக்கங்களுக்கும் அனைத்துக் கோணங்களுக்கும் சமம் எனில் அவை சர்வசம முக்கோணங்கள் எனப்படும்.
1)சர்வசம வட்டம்
2)சர்வசம சதுரம்
3)சர்வசம நேர்க்கோடு
முக்கோணம் சர்வசமமாக இருக்க நிபந்தனைகள்:
1) ப-ப-ப
2)ப-கோ-ப
3)கோ-ப-கோ
4)கோ-கோ-ப
5)செ-க-ப