முக்கோணத்தின் சுற்று வட்ட மையம் வரைதல்

சுற்று வட்ட மையம்

       ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்று வட்ட மையம் என்பது அம்முக்கோணத்தின் மூன்று  பக்கங்களின் மையக் குத்துக் கோடுகளும் சந்திக்கும் புள்ளியாகும். இதனை S  எனக் குறிப்போம்.

சுற்று வட்டம்

      ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிப்புள்ளிகள் வழியே சுற்று வட்ட மையத்தை மையமாகக் கொண்டு செல்லும் வட்டம் சுற்று வட்டம் எனப்படும்.

சுற்று வட்ட ஆரம்

       சுற்று வட்ட மையம் S க்கும்  முக்கோணத்தின் ஏதேனும் ஓர் உச்சிப் புள்ளிக்கும்  இடையே உள்ள தொலைவு சுற்று வட்ட ஆரம் எனப்படும்.

நாற்கரம்

நாற்கரம் 

நான்கு பக்கங்களைக் கொண்ட மூடிய உருவத்திற்கு  நாற்கரம் என்று பெயர்.

நாற்கரத்தின் சிறப்புப் பெயர்கள்:

•  ஓர் இணைகரம் என்பது எதிர்ப்பக்கங்கள் இணையாக மற்றும் சமமாக உள்ள நாற்கரமாகும்.
• ஒரு சாய்சதுரம் என்பது எதிர்ப்பக்கங்கள் சமமாகவும் மற்றும் எல்லா பக்கங்களும் சமமாகவும் உள்ள நாற்கரமாகும்.
• ஒரு சரிவகம் என்பது ஒரு சோடி எதிர்ப்பக்கங்கள்  இணையாக உள்ள  நாற்கரமாகும்.

நாற்கரத்தின் வகைகள்:

     சரிவகம்

    இணைகரம்

     பட்டம்

    இரு சமபக்க  சரிவகம்

    செவ்வகம்

     சாய்சதுரம்

     சதுரம்

குறுக்கு வெட்டி

குறுக்கு வெட்டி

        ஒரு கோடு இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட  கோடுகளை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுமேயானால் அது அக்கோடுகளின்  குறுக்கு வெட்டி எனப்படும்.

சர்வசம முக்கோணங்கள்

           ஒரு முக்கோணத்தின்  அனைத்துப் பக்கங்களும் அனைத்துக் கோணங்களும்  மற்றொரு  முக்கோணத்தின்  அனைத்துப் பக்கங்களுக்கும் அனைத்துக் கோணங்களுக்கும் சமம் எனில் அவை சர்வசம முக்கோணங்கள் எனப்படும்

 முக்கோணங்கள் சர்வசமமாக அமைய நிபந்தனைகள்:

ப-ப-ப

ப-கோ-ப

கோ-ப-கோ

கோ-கோ-ப

செ-க-ப

        

அடிப்படை வடிவியல் கருத்துக்கள்

கோணங்களின் வகைகள்:

              குறுங்கோணம்
              செங்கோணம்
               விரிகோணம்
                நேர்க்கோணம்
                பின்வளைக் கோணம்

நிரப்புக் கோணம்

      இரு கோண அளவுகளின் கூடுதல் 90°  எனில் அக்கோணங்கள் நிரப்புக் கோணங்கள் எனப்படும்.

மிகை நிரப்புக் கோணம்

       இரு கோண அளவுகளின் கூடுதல் 180°  எனில் அக்கோணங்கள்  மிகை நிரப்புக் கோணங்கள் எனப்படும்.

மீ.பொ.வ. காணுதல்

மீப்பெரு பொது வகுத்தி
     
     இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியானது அதன் காரணிகளுள் அதிகபட்ச பொதுப்படியைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையாகும். இதையே மீப்பெரு பொதுக்காரணி என்கிறோம்
எ.கா.
14xy^2  மற்றும் 42xy  என்ற கோவைகளின்  மீ.பொ.வ. 14xy.

முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்தல்:

 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab

(a-b)^2=a^2+b^2-2ab

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

காரணிப்படுத்துதல்

காரணிப்படுத்துதல் என்பது பெருக்கலின் திருப்புகைச் செயல்பாடு ஆகும்.
எ.கா:
3யையும், 5யையும் பெருக்கும் போது 15 கிடைக்கும்.
15 ஏக் காரணிப்படுத்தும் போது 3,5 காரணிகளாகக் கிடைக்கும்.

பெரிய படியுடைய பல்லுறுப்புக் கோவையைச் சிறிய படியுடைய கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாக மாற்றி எழுதுவதை காரணிப்படுத்துதல் என்கிறோம்.
காரணிப்படுத்துதலில் இரு முக்கிய வழிகள்
1) பொது காரணி முறை
     ab+ac
.     a.b+a.c
      a(b+c) காரணி அமைப்பு
2)குழுவாக எழுதுதல்
      a+b-pa-pb
      (a+b)-p(a+b)
       (a+b)(1-p)  காரணி அமைப்பு

தள உருவங்களின் பரப்பளவு

 ஒரு வரைபடத்தாளில் வரையப்பட்ட சதுரம், செவ்வகம் , இணைகரம், சரிவகம், முக்கோணம் போன்ற தள உருவங்களால் அடைபடும் பகுதிகளின் பரப்பளவு வரைபடத்தாளில் உள்ள அலகு சதுரங்களின் எண்ணிக்கை ஆகும்
எடுத்துக்காட்டு
A(5,3) , B (-3,3) , C(-3,-4),D(5,-4)  ஆகிய புள்ளிகளைக் குறித்து ABCD என்ற வடிவத்தால் அடைபடும் பகுதியின் பரப்பளவைக் காண்க.
தீர்வு:
x,y அச்சுக்களைப் பொருத்தமான அளவுத்திட்டத்துடன் வரைகிறோம்.
A(5,3) , B (-3,3) , C(-3,-4),D(5,-4)  ஆகிய புள்ளிகளைக் குறிக்கிறோம்.
A & B, B & C , C & D, D & A ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கிறோம்.
ABCD என்ற அடைபட்ட வடிவம் கிடைக்கிறது. 

ABCD ஒரு செவ்வகம் ஆகும்.
நான்கு பக்கங்களுக்குள்ளும் அடைபட்டுள்ள அலகு சதுரங்களைக் கூட்டினால் 56 அலகு சதுரங்கள் உள்ளன.
எனவே செவ்வகம் ABCD ன் பரப்பளவு 56ச.செ.மீ ஆகும்.

இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டினை வரைதல்

A(2,3),B(5,7) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டை வரைக.

தீர்வு:

A(2,3),B(5,7) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டை வரைதல்:
முதலில் (2,3)  என்ற புள்ளியைக் குறித்து அதற்கு A எனப் பெயரிடுகிறோம்.
அடுத்து (5,7) என்ற புள்ளியைக் குறித்து அதற்கு B எனப் பெயரிடுகிறோம்.
 பிறகு புள்ளிகள்  A ஐயும் Bஐயும் சேர்க்கிறோம்.
   AB  என்பது தேவையான கோடாகும்

புள்ளிகளைக் குறித்தல்

வரைபடத்தாளில் ஒரு புள்ளிகயைக் குறித்தல்
    (4,5) என்ற புள்ளியை வரைபடத்தாளில் குறி.
தீர்வு:
X'OX, Y'OY ஆகிய இரு எண் கோடுகளை வரைக. அவை ஆதிப்புள்ளி O ல் வெட்டிக் கொள்கின்றன.
x,y அச்சுக்களில் அளவுகளைக் குறிக்கிறோம்.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி P(4,5).  இங்கு P யின் x அச்சுத் தொலைவு 4, y அச்சுத் தொலைவு 5 ஆகும்.
   இவ்விரண்டும் மிகை. எனவே P(4,5) என்ற புள்ளியை முதற் கால்பகுதியில் அமையும்.
 இதேபோல் Q(5,4) என்ற புள்ளியும் முதற் கால்பகுதியில்  அமையும்.

வரைபடங்கள்

கார்ட்டீசியன் அச்சுகள்:
        x அச்சு,  y அச்சு ஆகிய இரு அச்சுக்களையும் கார்ட்டீசியன் அச்சுகள் என்கிறோம்.
X'OX , Y'OY  ஆகியவை இரு எண் கோடுகள் . இவை ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக பூச்சியத்தில் வெட்டிக் கொள்கின்றன. இவை முழுத் தளத்தை  நான்கு சமப் பகுதிகளாக பிரிக்கும்.
       இவற்றை நாம் காற்பகுதிகள் என்கிறோம்.
X'OX -x அச்சு
Y'OY-y அச்சு
 O- ஆதிப்புள்ளி
X அச்சுத்தொலைவு கிடைத்தொலைவு எனவும் y அச்சுத் தொலைவு செங்குத்துத் தொலைவு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்

ஒரு மாறியில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு மட்ணுமே உண்டு.
எ.கா:
5x-13=42 ன் தீர்வைக் காண்க.
தீர்வு:
5x-13=42
5x=42+13
5x=55
X  =55/5
x=11
தர்க்க
 5y+9=24
தீர்வு:
5y+9=24
5y  =24-9
5y  =15
 y   =15/5
y    =3

இயற்கணிதக் கோவைகளின் வகுத்தல்

ஓர் ஓருறுப்புக் கோவையை மற்றோர் ஓருறுப்புக் கோவையால் வகுத்தல்
10x/2=5*2*x/2=5x
ஓர் பல்லுறுப்புக் கோவையை மற்றோர் ஓருறுப்புக் கோவையால் வகுத்தல்
சுருக்குக:
(7x^2-5x)/x
தீர்வு:
(7x^2-5x)/x= (7x^2/x)-(5x/x)
                    =(7*x*x/x)-(5*x/x)
                    =7x-5

பொது முற்றொருமையைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்தல்

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
காரணிப்படுத்தல்
 X^2+5x+6
தீர்வு:
 X^2+5x+6 ஐ x^2+(a+b)x+ab உடன் ஒப்பிட 
ab=6, a+b=5 , x= எனக் கிடைக்கிறது.
ab=6 எனில் a  யும் b யும் 6 ன் காரணிகள்
a=2,b=3 எனில் ab=6 , a+b=5 
x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x^2+5x+6 =(x+2)(x+3)
X^2+5x+6 ன் காரணிகள் (x+2) , (x+3) ஆகும்.

முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்தல்

முற்றொருமைகள்

 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab

(a-b)^2=a^2+b^2-2ab

(a+b)(a-b)=a^2-b^2 

கொடுக்கப்பட்ட கோவையை அல்லது பல்லுறுப்புக் கோவையை மேற்குறிப்பிட்ட முற்றொருமைகளின் வடிவில் எழுத முடியும். அவ்வாறு எழுத முடிந்தால் வலப்புறம் உள்ள கோவைகளுக்கு அவற்றின் இடப்புறம் உள்ள கோவைகளே காரணியாகும்.
எ.கா:
X^2+2x+1
a=x , b=1
x^2+2x+1=(x+1)^2

காரணிப்படுத்தல்

காரணிப்படுத்தல் என்றால் என்ன என்பதையும் காரணிப்படுத்தலின் வழி முறைகள், பகா காரணிகள்,  காரணிப்படுத்தலின்  வகைகளான பொதுக்காரணியை வெளியே எடுத்துக் காரணிப்படுத்தல்  மற்றும் உறுப்புகளைத் தொகுத்துக் காரணிப்படுத்தல் ஆகியவற்றை எடுத்துக்காட்டுடன் தொகுத்துக் கூறுகிறார்.

முற்றொருமைகள்

(x+a)(x+b)(x+c)=[(x+a)(x+b)](x+c)
                            =[x^2+(a+b)x+ab](x+a)
                             =x^2(x)+(a+b)x^2+abx+x^2c+(a+b)xc+abc
                            =x^3+ax^2+bx^2+cx^2+abx+bcx+acx+abc
 (x+a)(x+b)(x+c)  =  x^3+x^2(a+b+c)+x(ab+bc+ca)+abc
(x+y)^3 & ( x-y)^3 ன் விரிவாக்கம்
(x+a)(x+b)(x+c)  =  x^3+x^2(a+b+c)+x(ab+bc+ca)+abc
Yக்கு பதிலாக -y ஐ பிரதியிட
(x+y)(x+y)(x+y)  =  x^3+x^2(y+y+)+x(yy+yy+yy)+yyy
                              = x^3+x^2(3y)+(3y^2)x+y^3
(x+y)^3               =x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
(x-y)^3               =x^3-3x^2y+3xy^2-y^3

இயற்கணித முற்றொருமைகள்

முற்றொருமைகள்
 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(x+a)(x+b)= x^2+x(a+b)+ab
மூவுறுப்புக் கோவையின்  விரிவாக்கம்
 (a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
(a-b+c)^2= a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca
(a+b-c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca 
இவற்றின் விளக்கத்தை எடுத்துக்காட்டுடன் தொகுத்துக் கூறுகிறார்.

காரணித் தேற்றம்

P(a) =0  எனில் , (x-a) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணி

P(-a) =0  எனில் , (x+a) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணி

P(-b/a) =0  எனில் , (ax+b) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணி

P(b/a) =0  எனில் , (ax-b) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணி

P(a) =0   மற்றும் p(b)=0 எனில் , (x-a)(x-b) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணி

P(x) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையினை (x-a) ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(a)=0 எனில் (x-a) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணியாகும்.

பல்லுறுப்புக் கோவைகள்

பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் வகைகள்

1-உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை அடிப்படையில்

     * ஓருறுப்புக் கோவை

     * ஈருறுப்புக் கோவை

     * மூவுறுப்புக் கோவை

2-படியின் அடிப்படையில்

     *  மாறிலிப் பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் வகைகள்

1-உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை அடிப்படையில்

     * ஓருறுப்புக் கோவை

     * ஈருறுப்புக் கோவை

     * மூவுறுப்புக் கோவை

2-படியின் அடிப்படையில்

     *  மாறிலிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

     * ஒரு படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

     * இரு படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

      * முப்படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

     * ஒரு படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

     * இரு படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

      * முப்படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியம்

     P(x) என்ற பல்லறுறுப்புக் கோவையின் மீதி p(a)=0  எனில்  a  என்பது p(x) ன் பூச்சியம் ஆகும்

அறிவியல் குறியீட்டு வடிவம்

அறிவியல் குறியீட்டு வடிவம் என்பது  மிகப் பெரிய அல்லது மிகச் சிறிய  எண்களைத் தசம குறியீட்டு வடிவில் வடிவமைக்கும் ஒரு வழிமுறை என்றும், அறிவியல் குறியீட்டு வடிவில் எண்களை எழுதுதல் பற்றியும்அறிவியல் குறியீட்டு வடிவத்தைத் தசம வடிவத்திற்கு மாற்றுதல் பற்றியும்அறிவியல் குறியீட்டு வடிவத்தில் உள்ள எண்களின் கணக்கீடுகள் ஆகியவற்றைத் தொகுத்துக் கூறுகிறார்.

முறுடுகளை விகிதப்படுத்துதல்

விகிதப்படுத்தும் காரணி
    ஓர் உறுப்பை விகிதமுறு எண்ணாக மாற்ற அதை அந்த உறுப்பால் பெருக்க வேண்டும்
எ.கா: √3 ன் விகிப்படுத்தும் காரணி √3
இணை முறுடுகளின் வடிவம்
a+√bன்  விகிதப்படுத்தும் காரணி a-√b
 ஆகியவற்றைத்  தொகுத்துக் கூறுகிறார்.