மீதித் தேற்றம்(l2)

ஆர்வமூட்டல்:
          பல்லுறுப்புக் கோவை என்றால் என்ன?
          பல்லுறுப்புக் கோவையினை எவ்வாறு வகுப்பாய்?
          பல்லுறுப்புக் கோவையின் வகுத்தல் விதியின் வடிவத்தைக் கூறுக.
விளக்குதல்:
           பல்லுறுப்புக் கோவையைச் சிக்கலான நீள் வகுத்தல் முறையில் வகுக்காமலேயே அதன் மீதியைக் காண மீதித் தேற்றம் பயன்படுகிறது.
         P(x) ஐ (x+a)  ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(-a)
         P(x) ஐ (x-a)  ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(a)
         P(x) ஐ (ax+b)  ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(-b/a)
         P(x) ஐ (ax-b)  ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(b/a)
எ.கா:f(x)= x^3+3x^2+3x+1 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையை x+1 ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதியைக் காண்க்
தீர்வு:
       f(x)=x^3+3x^2+3x+1 
       f(x)=(-1)^3+3(-1)^2+3(-1)+1
              =-1+3-3+1
              =0
மீதி=0
முடிவு:
     பல்லுறுப்புக் கோவையின் மீதித் தேற்றத்தை தொகுத்துக் கூறல்

சாய்சதுரம் அமைத்தல்

சாய்சதுரத்தின் பண்புகள்:
      அடுத்துள்ள பக்கங்கள் சமமாக உள்ள ஓர் இணைகரம் சாய்சதுரம்.

• அனைத்துப் பக்கங்களும் சமம்.
• எதிர்க் கோண அளவுகள் சமம்
• மூலை விட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக இரு சமக் கூறிடுகின்றன.
• எவையேனும் இரு அடுத்துள்ள கோண அளவுகளின் கூடுதல் 180° ஆகும்.
• மூலைவிட்டங்கள் அளவில் சமமற்றவை.

சாய்சதுரம் அமைக்கத் தேவையான அளவுகள்:

• ஒரு பக்கம் , ஒரு மூலைவிட்டம்
• ஒரு பக்கம் , ஒரு கோணம்
• இரண்டு  மூலைவிட்டங்கள்
• ஒரு மூலைவிட்டம் , ஒரு கோணம்

சாய்சதுரத்தின் பரப்பு = 1/2*d1*d2 ச.அ.
d1,d2  என்பன சாய்சதுரத்தின்  மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் ஆகும்.

தனிவட்டி காலம் வரைபடம்

அசோக் ரூ.10000 ஆண்டுக்கு 8% என்ற வட்டி வீதத்தில் ஒரு வங்கியில் முதலீடு செய்துள்ளார். தனி வட்டிக்கும் காலத்திற்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைக் காட்டும் ஒரு நேர்க்கோட்டு வரைபடத்தை வரைக. மேலும் 5 ஆண்டுகளில் கிடைக்கும் தனி வட்டியைக் காண்க.
தீர்வு:
தனி வட்டி= (Pnr)/100
அசல் P =10000
காலம்  n =?
வட்டி விகிதம் r =8%
I= ( P*n*r)/100
I=(10000* n* 8)/100
I=800n
 nன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு I ன் மதிப்புகளை அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.
பின்னர் புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைக்கும் போது ஒரு நேர்க்கோடு கிடைக்கும்.
5 ஆண்டுகளுக்கு கிடைக்கும் தனிவட்டி ரூ.4000 ஆகும்.

சதுரத்தின் பரப்பளவு மற்றும் சுற்றளவு - பக்கம் தொடர்பு

சதுரத்தின்  சுற்றளவு - பக்கம்
   
     சதுரத்தின்  சுற்றளவு என்பது அதன் பக்கத்தைப் போன்று  நான்கு  மடங்கு ஆகும்.
அதாவது P=4a
P என்பது   சுற்றளவு
a= பக்கம்
a ன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு  P ன் மதிப்புகளை அட்டவணைப்படுத்தி அனைத்துப் புள்ளிகளையும் இணைக்கிறோம்.
P=4a என்பது நேர்க்கோட்டு வரைபடம் 

காலம் தொலைவு வரைபடம்

அமுதா மணிக்கு 3 கி.மீ வேகத்தில் நடக்கிறாள். காலத்திற்கும் தொலைவிற்குமிடையே  உள்ள உறவைக் காட்டும் நேர்க்கோட்டு வரைபடம் வரைக.
தீர்வு:
 அமுதா மணிக்கு 3 கி.மீ வேகத்தில் நடக்கிறார், இதன் பொருள் அவர் 1 மணி நேரத்தில் 3 கி.மீ, 2 மணி நேரத்தில் 6 கி.மீ, 3 மணி நேரத்தில் 9 கி.மீ  என்றவாறு நடக்கிறார்  என்பதாகும்.
ஆகவே, 
காலம்.    0   1   2   3   4   5
தூரம்       0   3   6  9   12  15
புள்ளிகள்: (0,0) , (1,3), (2,6), (3,9), (4,12), (5,15)
அனைத்துப் புள்ளிகளையும் இணைக்கும் போது ஒரு நேர்க்கோட்டு வரைபடம் கிடைக்கும்
 x, y ஆகியவற்றிற்கிடையே உள்ள தொடர்பு
தொலைவு= வேகம்* காலம்
y=3x

கார்ட்டீசியன் தளத்தில் புள்ளிகளைக் குறித்தல்

வரைபடத்தாளில் ஒரு புள்ளிகயைக் குறித்தல்

    (4,5) என்ற புள்ளியை வரைபடத்தாளில் குறி.

தீர்வு:

X'OX, Y'OY ஆகிய இரு எண் கோடுகளை வரைக. அவை ஆதிப்புள்ளி O ல் வெட்டிக் கொள்கின்றன.

x,y அச்சுக்களில் அளவுகளைக் குறிக்கிறோம்.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி P(4,5).  இங்கு P யின் x அச்சுத் தொலைவு 4, y அச்சுத் தொலைவு 5 ஆகும்.

   இவ்விரண்டும் மிகை. எனவே P(4,5) என்ற புள்ளியை முதற் கால்பகுதியில் அமையும்.

 x,y அச்சுக்களின் தொலைவுகளை  வரைபடத் தாளில் குறித்து அவற்றின் அமைவிடங்களை குறிப்பிட வேண்டும்.

ஆதி எண்

100 மாணவர்கள் உள்ள குழுவில் 85 மாணவர்கள் தமிழ் பேசுபவர்கள், 40 மாணவர்கள்  ஆங்கிலம் பேசுபவர்கள், 20 மாணவர்கள் பிரெஞ்சு பேசுபவர்கள், 32 பேர் தமிழ் மற்றும் ஆங்கிலமும், 13 பேர் ஆங்கிலம் மற்றும் பிரெஞ்சும் , 10 பேர் தமிழ் மற்றும் பிரெஞ்சும் பேசுவார்கள் . ஒவ்வொரு மாணவரும் குறைந்தது ஒரு மொழியாவது பேசுகிறாரஎ எனில் 3 மொழிகளும் பேசும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.
தீர்வு:
   A என்பது தமிழ் , B என்பது ஆங்கிலம்,  C என்பது பிரெஞ்சு மொழி பேசும் மாணவர்களின் கணங்கள் என்க.
n(AUBUC)=100, n(A)=85, n(B)=40 , n(C)=20, n(AnB)=32, n(BnC)=13, n(AnC)=10
விதியின்படி 
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB) -n(BnC)- n(AnC)+n(AnBnC)
100=85+40+20-32-13-10+n(AnBnC)
n(AnBnC)=100-90=10
 ஆகவே 10 மாணவர்கள் மூன்று மொழிகளையும் பேசுபவர்கள்.

தொகுமுறை வகுத்தலைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்துதல்

X^3+13x^2+32x+27 ஐ நேரிய காரணிகளாகக் காரணிப்படுத்துக.
தீர்வு:
   P(x)=X^3+13x^2+32x+27  என்க
அனைத்து உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+13+32+20=66 

அனைத்து உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் பூச்சியம் எனில் p(x) க்கு (x-1) ஒரு காரணியாகும். 
எனவே, P(x)=X^3+13x^2+32x+27  க்கு (x-1) ஒரு காரணியல்ல.
இரட்டைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்கள் மற்றும் மாறிலியின்  கூடுதல் =13+20=33
ஒற்றைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்=1+32=33
எனவே, P(x)=X^3+13x^2+32x+27  க்கு (x+1) ஒரு காரணி

தொகுமுறை வகுத்தல்

வகுபடும் கோவை p(x)
வகுக்கும் கோவை d(x)
தொகுமுறை வகுத்தலின் படிகள்

• வகுபடும் கோவை  மற்றும் வகுக்கும் கோவை இரண்டையும் திட்ட வடிவிற்கு மாற்றுக.
• வகுபடும் கோவையின் பூச்சியத்தைக் காண்க.
• வகுபடும் கோவையின் பூச்சியத்தை முதல் வரிசைக்கு முன்னால் எழுதுக. இரண்டாம் வரிசையின் பூச்சியத்தை முதல் உறுப்புக்குக் கீழே எழுதுக.
• இரண்டாம், மூன்றாம் வரிசையைப் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்.

மூன்றாம் வரிசையில் உள்ள கடைசி உறுப்பைத் தவிர ஏனைய உறுப்புகள் அனைத்தும் ஈவின் கெழுக்கள் ஆகும்.

ஆயத்தொலை வடிவியல்

கார்டீசியன் தளத்தில் புள்ளிகளைக்குறித்தல்
     (4,5) என்ற புள்ளியைக் குறித்தல்

4,5) என்ற புள்ளியைக் கார்ட்டீசியன் தளத்தில் குறிக்க , x அச்சில் 4 அலகுகள் நகர்ந்து அங்கிருந்து ஒரு செங்குத்துக் கோடு x=4  வரைய வேண்டும்.
      இதேபோல் y அச்சில் 5 அலகுகள் நகர்ந்து அங்கிருந்து  ஒரு கிடைமட்டமாக கோடு வரைய வேண்டும்.
      இந்த இரு கோடுகள்  சந்திக்கும்  இடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில் புள்ளி (4,5)  ஆகும்.

மூவுறுப்புக் கோவைகளைக் காரணிப்படுத்துதல்

ax^2+bx+c ன் நேரிய காரணிகள் (kx+m) மற்றும் (lx+n) என்ற அமைப்பில் இருக்கும்.
எனவே  ax^2+bx+c = (kx+m)(lx+n) =klx^2+(lm+kn)x+mn
   x^2, x ன் கெழு மற்றும் மாறிலி உறுப்புக்களை இருபுறமும் ஒப்பீடு செய்யும் போது a=kl , b=(lm+kn) , c=mn எனக் கிடைக்கும்.
எ.கா:
காரணிப்படுத்துதல்  2x^2+15x+27
தீர்வு:
 ax^2+bx+c  உடன் 2x^2+15x+27 ஐ சமப்படுத்த 
a=2 , b=15 , c =27
பெருக்கற்பலன் ac=2*27=54  மற்றும் கூடுதல்  b =15
6,9 என்ற காரணிகள்  b=15 & ac=54 என்பதை நிறைவு  செய்கிறது.
2x^2+15x+27 = 2x^2+6x+9x+27 
                         =2x(x+3)+9(x+3)
2x^2+15x+27  =(x+3)(2x+9)

சர்வசம முக்கோணங்கள்

சர்வசம முக்கோணங்கள்
    ஒரு முக்கோணத்தின்  அனைத்துப் பக்கங்களும் அனைத்துக் கோணங்களும்  மற்றொரு  முக்கோணத்தின்  அனைத்துப் பக்கங்களுக்கும் அனைத்துக் கோணங்களுக்கும் சமம் எனில் அவை சர்வசம முக்கோணங்கள் எனப்படும்.
1)சர்வசம வட்டம்
2)சர்வசம சதுரம்
3)சர்வசம நேர்க்கோடு
முக்கோணம் சர்வசமமாக இருக்க நிபந்தனைகள்:
1) ப-ப-ப
2)ப-கோ-ப
3)கோ-ப-கோ
4)கோ-கோ-ப
5)செ-க-ப

முக்கோணத்தின் சுற்று வட்ட மையம் வரைதல்

சுற்று வட்ட மையம்

       ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்று வட்ட மையம் என்பது அம்முக்கோணத்தின் மூன்று  பக்கங்களின் மையக் குத்துக் கோடுகளும் சந்திக்கும் புள்ளியாகும். இதனை S  எனக் குறிப்போம்.

சுற்று வட்டம்

      ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிப்புள்ளிகள் வழியே சுற்று வட்ட மையத்தை மையமாகக் கொண்டு செல்லும் வட்டம் சுற்று வட்டம் எனப்படும்.

சுற்று வட்ட ஆரம்

       சுற்று வட்ட மையம் S க்கும்  முக்கோணத்தின் ஏதேனும் ஓர் உச்சிப் புள்ளிக்கும்  இடையே உள்ள தொலைவு சுற்று வட்ட ஆரம் எனப்படும்.

நாற்கரம்

நாற்கரம் 

நான்கு பக்கங்களைக் கொண்ட மூடிய உருவத்திற்கு  நாற்கரம் என்று பெயர்.

நாற்கரத்தின் சிறப்புப் பெயர்கள்:

•  ஓர் இணைகரம் என்பது எதிர்ப்பக்கங்கள் இணையாக மற்றும் சமமாக உள்ள நாற்கரமாகும்.
• ஒரு சாய்சதுரம் என்பது எதிர்ப்பக்கங்கள் சமமாகவும் மற்றும் எல்லா பக்கங்களும் சமமாகவும் உள்ள நாற்கரமாகும்.
• ஒரு சரிவகம் என்பது ஒரு சோடி எதிர்ப்பக்கங்கள்  இணையாக உள்ள  நாற்கரமாகும்.

நாற்கரத்தின் வகைகள்:

     சரிவகம்

    இணைகரம்

     பட்டம்

    இரு சமபக்க  சரிவகம்

    செவ்வகம்

     சாய்சதுரம்

     சதுரம்

குறுக்கு வெட்டி

குறுக்கு வெட்டி

        ஒரு கோடு இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட  கோடுகளை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுமேயானால் அது அக்கோடுகளின்  குறுக்கு வெட்டி எனப்படும்.

சர்வசம முக்கோணங்கள்

           ஒரு முக்கோணத்தின்  அனைத்துப் பக்கங்களும் அனைத்துக் கோணங்களும்  மற்றொரு  முக்கோணத்தின்  அனைத்துப் பக்கங்களுக்கும் அனைத்துக் கோணங்களுக்கும் சமம் எனில் அவை சர்வசம முக்கோணங்கள் எனப்படும்

 முக்கோணங்கள் சர்வசமமாக அமைய நிபந்தனைகள்:

ப-ப-ப

ப-கோ-ப

கோ-ப-கோ

கோ-கோ-ப

செ-க-ப

        

அடிப்படை வடிவியல் கருத்துக்கள்

கோணங்களின் வகைகள்:

              குறுங்கோணம்
              செங்கோணம்
               விரிகோணம்
                நேர்க்கோணம்
                பின்வளைக் கோணம்

நிரப்புக் கோணம்

      இரு கோண அளவுகளின் கூடுதல் 90°  எனில் அக்கோணங்கள் நிரப்புக் கோணங்கள் எனப்படும்.

மிகை நிரப்புக் கோணம்

       இரு கோண அளவுகளின் கூடுதல் 180°  எனில் அக்கோணங்கள்  மிகை நிரப்புக் கோணங்கள் எனப்படும்.

மீ.பொ.வ. காணுதல்

மீப்பெரு பொது வகுத்தி
     
     இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியானது அதன் காரணிகளுள் அதிகபட்ச பொதுப்படியைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையாகும். இதையே மீப்பெரு பொதுக்காரணி என்கிறோம்
எ.கா.
14xy^2  மற்றும் 42xy  என்ற கோவைகளின்  மீ.பொ.வ. 14xy.

முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்தல்:

 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab

(a-b)^2=a^2+b^2-2ab

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

காரணிப்படுத்துதல்

காரணிப்படுத்துதல் என்பது பெருக்கலின் திருப்புகைச் செயல்பாடு ஆகும்.
எ.கா:
3யையும், 5யையும் பெருக்கும் போது 15 கிடைக்கும்.
15 ஏக் காரணிப்படுத்தும் போது 3,5 காரணிகளாகக் கிடைக்கும்.

பெரிய படியுடைய பல்லுறுப்புக் கோவையைச் சிறிய படியுடைய கோவைகளின் பெருக்கற்பலனாக மாற்றி எழுதுவதை காரணிப்படுத்துதல் என்கிறோம்.
காரணிப்படுத்துதலில் இரு முக்கிய வழிகள்
1) பொது காரணி முறை
     ab+ac
.     a.b+a.c
      a(b+c) காரணி அமைப்பு
2)குழுவாக எழுதுதல்
      a+b-pa-pb
      (a+b)-p(a+b)
       (a+b)(1-p)  காரணி அமைப்பு

தள உருவங்களின் பரப்பளவு

 ஒரு வரைபடத்தாளில் வரையப்பட்ட சதுரம், செவ்வகம் , இணைகரம், சரிவகம், முக்கோணம் போன்ற தள உருவங்களால் அடைபடும் பகுதிகளின் பரப்பளவு வரைபடத்தாளில் உள்ள அலகு சதுரங்களின் எண்ணிக்கை ஆகும்
எடுத்துக்காட்டு
A(5,3) , B (-3,3) , C(-3,-4),D(5,-4)  ஆகிய புள்ளிகளைக் குறித்து ABCD என்ற வடிவத்தால் அடைபடும் பகுதியின் பரப்பளவைக் காண்க.
தீர்வு:
x,y அச்சுக்களைப் பொருத்தமான அளவுத்திட்டத்துடன் வரைகிறோம்.
A(5,3) , B (-3,3) , C(-3,-4),D(5,-4)  ஆகிய புள்ளிகளைக் குறிக்கிறோம்.
A & B, B & C , C & D, D & A ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கிறோம்.
ABCD என்ற அடைபட்ட வடிவம் கிடைக்கிறது. 

ABCD ஒரு செவ்வகம் ஆகும்.
நான்கு பக்கங்களுக்குள்ளும் அடைபட்டுள்ள அலகு சதுரங்களைக் கூட்டினால் 56 அலகு சதுரங்கள் உள்ளன.
எனவே செவ்வகம் ABCD ன் பரப்பளவு 56ச.செ.மீ ஆகும்.

இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டினை வரைதல்

A(2,3),B(5,7) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டை வரைக.

தீர்வு:

A(2,3),B(5,7) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டை வரைதல்:
முதலில் (2,3)  என்ற புள்ளியைக் குறித்து அதற்கு A எனப் பெயரிடுகிறோம்.
அடுத்து (5,7) என்ற புள்ளியைக் குறித்து அதற்கு B எனப் பெயரிடுகிறோம்.
 பிறகு புள்ளிகள்  A ஐயும் Bஐயும் சேர்க்கிறோம்.
   AB  என்பது தேவையான கோடாகும்

புள்ளிகளைக் குறித்தல்

வரைபடத்தாளில் ஒரு புள்ளிகயைக் குறித்தல்
    (4,5) என்ற புள்ளியை வரைபடத்தாளில் குறி.
தீர்வு:
X'OX, Y'OY ஆகிய இரு எண் கோடுகளை வரைக. அவை ஆதிப்புள்ளி O ல் வெட்டிக் கொள்கின்றன.
x,y அச்சுக்களில் அளவுகளைக் குறிக்கிறோம்.
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி P(4,5).  இங்கு P யின் x அச்சுத் தொலைவு 4, y அச்சுத் தொலைவு 5 ஆகும்.
   இவ்விரண்டும் மிகை. எனவே P(4,5) என்ற புள்ளியை முதற் கால்பகுதியில் அமையும்.
 இதேபோல் Q(5,4) என்ற புள்ளியும் முதற் கால்பகுதியில்  அமையும்.

வரைபடங்கள்

கார்ட்டீசியன் அச்சுகள்:
        x அச்சு,  y அச்சு ஆகிய இரு அச்சுக்களையும் கார்ட்டீசியன் அச்சுகள் என்கிறோம்.
X'OX , Y'OY  ஆகியவை இரு எண் கோடுகள் . இவை ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக பூச்சியத்தில் வெட்டிக் கொள்கின்றன. இவை முழுத் தளத்தை  நான்கு சமப் பகுதிகளாக பிரிக்கும்.
       இவற்றை நாம் காற்பகுதிகள் என்கிறோம்.
X'OX -x அச்சு
Y'OY-y அச்சு
 O- ஆதிப்புள்ளி
X அச்சுத்தொலைவு கிடைத்தொலைவு எனவும் y அச்சுத் தொலைவு செங்குத்துத் தொலைவு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்

ஒரு மாறியில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு மட்ணுமே உண்டு.
எ.கா:
5x-13=42 ன் தீர்வைக் காண்க.
தீர்வு:
5x-13=42
5x=42+13
5x=55
X  =55/5
x=11
தர்க்க
 5y+9=24
தீர்வு:
5y+9=24
5y  =24-9
5y  =15
 y   =15/5
y    =3

இயற்கணிதக் கோவைகளின் வகுத்தல்

ஓர் ஓருறுப்புக் கோவையை மற்றோர் ஓருறுப்புக் கோவையால் வகுத்தல்
10x/2=5*2*x/2=5x
ஓர் பல்லுறுப்புக் கோவையை மற்றோர் ஓருறுப்புக் கோவையால் வகுத்தல்
சுருக்குக:
(7x^2-5x)/x
தீர்வு:
(7x^2-5x)/x= (7x^2/x)-(5x/x)
                    =(7*x*x/x)-(5*x/x)
                    =7x-5

பொது முற்றொருமையைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்தல்

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
காரணிப்படுத்தல்
 X^2+5x+6
தீர்வு:
 X^2+5x+6 ஐ x^2+(a+b)x+ab உடன் ஒப்பிட 
ab=6, a+b=5 , x= எனக் கிடைக்கிறது.
ab=6 எனில் a  யும் b யும் 6 ன் காரணிகள்
a=2,b=3 எனில் ab=6 , a+b=5 
x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x^2+5x+6 =(x+2)(x+3)
X^2+5x+6 ன் காரணிகள் (x+2) , (x+3) ஆகும்.

முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்தல்

முற்றொருமைகள்

 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab

(a-b)^2=a^2+b^2-2ab

(a+b)(a-b)=a^2-b^2 

கொடுக்கப்பட்ட கோவையை அல்லது பல்லுறுப்புக் கோவையை மேற்குறிப்பிட்ட முற்றொருமைகளின் வடிவில் எழுத முடியும். அவ்வாறு எழுத முடிந்தால் வலப்புறம் உள்ள கோவைகளுக்கு அவற்றின் இடப்புறம் உள்ள கோவைகளே காரணியாகும்.
எ.கா:
X^2+2x+1
a=x , b=1
x^2+2x+1=(x+1)^2

காரணிப்படுத்தல்

காரணிப்படுத்தல் என்றால் என்ன என்பதையும் காரணிப்படுத்தலின் வழி முறைகள், பகா காரணிகள்,  காரணிப்படுத்தலின்  வகைகளான பொதுக்காரணியை வெளியே எடுத்துக் காரணிப்படுத்தல்  மற்றும் உறுப்புகளைத் தொகுத்துக் காரணிப்படுத்தல் ஆகியவற்றை எடுத்துக்காட்டுடன் தொகுத்துக் கூறுகிறார்.

முற்றொருமைகள்

(x+a)(x+b)(x+c)=[(x+a)(x+b)](x+c)
                            =[x^2+(a+b)x+ab](x+a)
                             =x^2(x)+(a+b)x^2+abx+x^2c+(a+b)xc+abc
                            =x^3+ax^2+bx^2+cx^2+abx+bcx+acx+abc
 (x+a)(x+b)(x+c)  =  x^3+x^2(a+b+c)+x(ab+bc+ca)+abc
(x+y)^3 & ( x-y)^3 ன் விரிவாக்கம்
(x+a)(x+b)(x+c)  =  x^3+x^2(a+b+c)+x(ab+bc+ca)+abc
Yக்கு பதிலாக -y ஐ பிரதியிட
(x+y)(x+y)(x+y)  =  x^3+x^2(y+y+)+x(yy+yy+yy)+yyy
                              = x^3+x^2(3y)+(3y^2)x+y^3
(x+y)^3               =x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
(x-y)^3               =x^3-3x^2y+3xy^2-y^3

இயற்கணித முற்றொருமைகள்

முற்றொருமைகள்
 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(x+a)(x+b)= x^2+x(a+b)+ab
மூவுறுப்புக் கோவையின்  விரிவாக்கம்
 (a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
(a-b+c)^2= a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca
(a+b-c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca 
இவற்றின் விளக்கத்தை எடுத்துக்காட்டுடன் தொகுத்துக் கூறுகிறார்.

காரணித் தேற்றம்

P(a) =0  எனில் , (x-a) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணி

P(-a) =0  எனில் , (x+a) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணி

P(-b/a) =0  எனில் , (ax+b) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணி

P(b/a) =0  எனில் , (ax-b) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணி

P(a) =0   மற்றும் p(b)=0 எனில் , (x-a)(x-b) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணி

P(x) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையினை (x-a) ஆல் வகுக்க கிடைக்கும் மீதி p(a)=0 எனில் (x-a) என்பது p(x) ன் ஒரு காரணியாகும்.

பல்லுறுப்புக் கோவைகள்

பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் வகைகள்

1-உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை அடிப்படையில்

     * ஓருறுப்புக் கோவை

     * ஈருறுப்புக் கோவை

     * மூவுறுப்புக் கோவை

2-படியின் அடிப்படையில்

     *  மாறிலிப் பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் வகைகள்

1-உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை அடிப்படையில்

     * ஓருறுப்புக் கோவை

     * ஈருறுப்புக் கோவை

     * மூவுறுப்புக் கோவை

2-படியின் அடிப்படையில்

     *  மாறிலிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

     * ஒரு படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

     * இரு படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

      * முப்படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

     * ஒரு படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

     * இரு படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

      * முப்படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை

பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியம்

     P(x) என்ற பல்லறுறுப்புக் கோவையின் மீதி p(a)=0  எனில்  a  என்பது p(x) ன் பூச்சியம் ஆகும்

அறிவியல் குறியீட்டு வடிவம்

அறிவியல் குறியீட்டு வடிவம் என்பது  மிகப் பெரிய அல்லது மிகச் சிறிய  எண்களைத் தசம குறியீட்டு வடிவில் வடிவமைக்கும் ஒரு வழிமுறை என்றும், அறிவியல் குறியீட்டு வடிவில் எண்களை எழுதுதல் பற்றியும்அறிவியல் குறியீட்டு வடிவத்தைத் தசம வடிவத்திற்கு மாற்றுதல் பற்றியும்அறிவியல் குறியீட்டு வடிவத்தில் உள்ள எண்களின் கணக்கீடுகள் ஆகியவற்றைத் தொகுத்துக் கூறுகிறார்.

முறுடுகளை விகிதப்படுத்துதல்

விகிதப்படுத்தும் காரணி
    ஓர் உறுப்பை விகிதமுறு எண்ணாக மாற்ற அதை அந்த உறுப்பால் பெருக்க வேண்டும்
எ.கா: √3 ன் விகிப்படுத்தும் காரணி √3
இணை முறுடுகளின் வடிவம்
a+√bன்  விகிதப்படுத்தும் காரணி a-√b
 ஆகியவற்றைத்  தொகுத்துக் கூறுகிறார்.

மூலக்குறியீட்டு விதிகள்

முறுடுகளில் நான்கு அடிப்படைச் செயல்கள்
 1-முறுடுகளில் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் 
 2-முறுடுகளில் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்
முறுடுகளில் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் 
       3√7+5√7=8√7 இது ஓர் விகிதமுறா எண்
  7√5-4√5=(7-4)√5
                 =3√5  இது ஓர் விகிதமுறா எண்
முறுடுகளில் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்
    ஒத்த முறுடுகளை பெருக்கவோ அல்லது வகுக்கவோ முடியும்.

முறுடுகள்

முறுடு
     முறுடு என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்ணின் விகிதமுறா மூலம் ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டு
  √2 ஒரு முறுடு . இது x^2=2 என்ற சமன்பாட்டின் விகிதமுறா மூலம் ஆகும்.
முறுடின் வரிசை
      ஒரு முறுடானது எந்த மூலத்திலிருந்து பெறப்படுகிறதோ அந்த மூலத்தின் வரிசை  முறுடின் வரிசை  எனப்படும்.  
முறுடின் வகைகள்:
      1-ஒரே ஒரு வரிசை கொண்ட முறுடுகள்
       2- முறுடின் எளிய வடிவம்
      3-முழுமையான மற்றும் கலப்பு முறுடுகள்
      4- எளிய மற்றும் கூட்டு  முறுடுகள்
      5-ஈருறுப்பு  முறுடுகள்

மெய்யெண்கள்

மூலக்குறியீட்டு வடிவம்
 n என்பது ஒரு மிகை முழு மற்றும் r என்பதுமெய்யெண் என்க.
r^n=x எனில் r என்பது  x இன் n ஆவது மூலம் எனப்படும்
பின்வருவனவற்றை 2^n வடிவத்தில் எழுதுக.
1)8
2)32
தீர்வு
1)  8=2*2*2
     8=2^3
2) 32=2*2*2*2*2
    32=2^5

ஆதி எண்கள் மற்றும் கணச் செயல்கள்

A,B,C என்பன மூன்று கணங்கள் எனில்
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(BnC)-n(AnC)+n(AnBnC)
எ.கா:
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(BnC)-n(AnC)+n(AnBnC)என்பதை சரிபார்க்க
A={a,c,e,f,h}, B={c,d,e,f},C={a,b,c,f}
AUBUC={a,b,c,d,e,f,h}
n(AUBUC)=7
n(A)=5
n(B)=4
n(C)=4
AnB={c,e,f}
n(AnB)=3
BnC={c,f}
n(BnC)=2
AnC={a,c,f}
n(AnC)=3
AnBnC={c,f}
n(AnBnC)=2

n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AnB)-n(BnC)-n(AnC)+n(AnBnC)
7=5+4+4-3-2-3+2
7=7
சரிபார்க்கப்பட்டது.

டி மார்கன் விதிகள்

 டி மார்கன் விதிகள்
1)கணவித்தியாசத்திற்கான டி மார்கன் விதிகள்
2)கணநிரப்பிக்கான டி மார்கன் விதிகள்

கணவித்தியாசத்திற்கான டி மார்கன் விதிகள்
A-(BUC)=(A-B)n(A-C)
A-(BnC)=(A-B)U(A-C)

கணநிரப்பிக்கான டி மார்கன் விதிகள்

(AUB)'=A'nB'

(AnB)'=A'UB'

கணமொழி

கணச்செயல்களின் பண்புகள்
 
1)பரிமாற்றுப் பண்பு

     AUB=BUA
     AnB=BnA
2)சேர்ப்புப் பண்பு

AU(BUC)=(AUB)UC
An(BnC)=(AnB)nC

3)பங்கீட்டுப் பண்பு

An(BUC)=(AnB)U(AnC)
AU(BnC)=(AUB)n(AUC)

முற்றொருமைகளைத் தருவித்தல்

1)(a+b)^2+(a+b)^2=(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)
        
                                 =a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2

                            

                                 =2a^2+2b^2

(a+b)^2+(a+b)^2  = 2(a^2+b^2) 

1/2[(a+b)^2+(a+b)^2 ]= (a^2+b^2) 

(a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)

        

                                 =a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2

                            

                                 =4ab

1/2[(a+b)^2+(a+b)^2 ]= ab

      

பொது முற்றொருமை

பொது முற்றொருமை
(x+a)(x+b)=x^2+bx+ax+ab
                  =x^2+ax+bx+ab
 (x+a)(x+b) =x^2+x(a+b)+ab

மதிப்பு காண்க
(m+3)(m+5)
(m+3)(m+5)=m^2+(3+5)m+(3*5)
                     =m^2+8m+15

இயற்கணித முற்றொருமைகள்

முதலாம் முற்றொருமை
     (a+b)^2=(a+b)(a+b)
                    =a^2+ab+ba+b^2
     (a+b)^2  =a^2+2ab+b^2
இரண்டாம் முற்றொருமை

(a-b)^2=(a-b)(a-b)

                    =a^2-ab-ba+b^2

    (a-b)^2  =a^2-2ab+b^2

இயற்கணித கோவைகளின் பெருக்கல்

ஈருறுப்புக் கோவையை ஈருறுப்புக் கோவையால் பெருக்குதல்
ஓர் ஈருறுப்புக் கோவையின் ஒவ்வோர் உறுப்பும் மற்றோர் ஈருறுப்புக் கோவையின் ஒவ்வோர் உறுப்பையும் பெருக்குகிறது.

 2a+3b)(5a+4b)

      =(2a*5a)+(2a*4b)+(3b*5a)+(3b*4b)

      =10a^2+8ab+15ab+12b^2

      =10a^2+23ab+12b^2     

இயற்கணித கோவையின் பெருக்கல்

இரு ஓருறுப்புக் கோவைகளின் பெருக்கல்
2x*3=6x
ஓருறுப்புக் கோவையை ஈருறுப்புக் கோவையால் பெருக்குதல்
2x((3x+5)
    =(2x*3x)+(2x*5)
     =6x^2+10x

ஓருறுப்புக் கோவையை பல்லுறுப்புக் கோவையால் பெருக்குதல்

3(5y^2+3y+2)

       =(3*5y^2)+(3*3y)+(3*2)

       = 18y^2+9y+6

இயற்கணித கோவையின் கூட்டல் & கழித்தல்

ஒத்த அல்லது ஓரின உறுப்புகளை மட்டுமே கூட்டவோ கழிக்கவோ முடியும்.
உதாரணம்
3x+4x=7x
3x-4x=-x
எ.கா:
3x-y, 2y-x, x+y ஆகியவற்றை கூட்டுக.
தீர்வு
 3x-y+2y-x+x+y=2x+2y
எ.கா
8xy,5xy கழிக்க
தீர்வு:
8xy-5xy=3xy

இயற்கணிதம்

X+5  என்ற கோவையானது மாறி x ஐயும் மாறிலி  5 ஐயும் கொண்டு உருவாக்கப்பட்டது
இயற்கணித கோவையின் மதிப்பு
கோவையிலுள்ள மாறிகளின் மதிப்புகள் மாறும் போது கோவையின் மதிப்பு மாறும்
உறுப்பு
      ஒரு மாறி அல்லது மாறிலி தனியாகவோ அல்லது பெருக்கல் விகிதம் மூலம் சேர்ந்தோ ஓர் உறுப்பை உருவாக்கும்.

முக்கோணத்தின் பண்புகள்

ஆர்வமூட்டல்:

• உள்கோணம் என்றால் என்ன?
• வெளிக் கோணம் என்றால் என்ன?
• முக்கோணத்தின் கூடுதல் பண்பைக் கூறுக

விளக்குதல்:

முக்கோணத்தின் கூடுதல் பண்பு:

       முக்கோணத்தின் வெளிக் கோணமானது அதன் உள்ளெதிர் கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

முக்கோணத்தின் சமனின்மைப் பண்பு:

       முக்கோணத்தின் இரு பக்க அளவுகளின் கூடுதல் மூன்றாவது பக்க அளவை விடக் குறைவாக இருக்கும்.

•    a+b>c
•     b+c>a
•     a+c>b

 முக்கோணத்தின் இரு பக்க அளவுகளின் கூடுதல் மூன்றாவது பக்க அளவை விடக் குறைவாக இல்லையெனில் அது ஓர் முக்கோணத்தை அமமைக்காது.

முடிவு:

முக்கோணத்தின் கூடுதல் பண்பு மற்றும் சமனின்மைப் பண்பை தொகுத்துக் கூறல்.

வடிவியல்

முக்கோணத்தின் பண்புகள்

ஆர்வமூட்டல்:

         முக்கோணத்தின் பரப்பளவு என்ன?

          முக்கோணத்தின் சுற்றளவு என்ன?

          முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூடுதல் என்ன?

விளக்குதல்:

          கூடுதல் பண்பு

                   முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180°  ஆகும்.

எ.கா:

ΔABC ல் A=60°, B=50° எனில் C ஐக் காண்க.

தீர்வு:

முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180°  ஆகும்.

எனவே, A+B+C=180°

                 60°+50°+C=180°

                  110°+C=180°

                            C=180°-110°

                               =70°

முடிவு:

       முக்கோணத்தின் கூடுதல் பண்பை தொகுத்துக் கூறல்.

கூட்டு உருவங்கள்

ஆர்வமூட்டல்:
           கூட்டு உருவம் என்றால் என்ன?
           கூட்டு உருவத்தின் பரப்பளவை எவ்வாறு காண்பாய்?
           கூட்டு உருவத்தின் சுற்றளவை எவ்வாறு காண்பாய்?
விளக்குதல்:
நிழலிட்டப் பகுதியின் பரப்பளவை காண்க.

தீர்வு:
  நிழலிட்டப் பகுதியின் பரப்பளவு=சதுரத்தின் பரப்பு-(1&3 ன் பரப்பு+ 2&4 ன் பரப்பு)
  1&3 ன் பரப்பு=சதுரத்தின் பரப்பு-(Pஐ மையமாகக் கொண்ட அரை வட்டத்தின் பரப்பு +  R மையமாகக் கொண்ட அரை வட்டத்தின் பரப்பு )
               = a^2-(πr^2/2+πr^2/2)
               =7*7-((22/7*(7/2)(7/2))+22/7*(7/2)(7/2))
               =21/2 ச.செ.மீ
2&4 ன் பரப்பு=சதுரத்தின் பரப்பு-(S ஐ மையமாகக் கொண்ட அரை வட்டத்தின் பரப்பு +  Q ஐ மையமாகக் கொண்ட அரை வட்டத்தின் பரப்பு )
                =21/2ச.செ.மீ
நிழலிட்டப் பகுதியின் பரப்பளவு=49-(21/2+21/2)
                                                                  =49-21
                                                                  =28ச.செ.மீ
முடிவு:
       நிழலிட்டப் பகுதியின் பரப்பளவு காண்பதை தொகுத்துக் கூறல்.

Teachers day celebration

கூட்டு உருவங்கள்

ஆர்வமூட்டல்:
        ஆரத்திற்கும் விட்டத்திற்கும் உள்ள தொடர்பு என்ன?
        சுற்றளவு என்றால் என்ன?
        வட்டத்தின் சுற்றளவு என்ன?
விளக்குதல்:
வட்ட வடிவிலான தாமிரக் கம்பியின் ஆரம் 35செ.மீ. இது சதுர வடிவில் வளைக்கப்படுகிறது எனில் அச்சதுரத்தின் பக்கத்தைக் காண்க.

தீர்வு:
  வட்டத்தின் ஆரம்= 35செ.மீ
 அதே கம்பியானது சதுரமாக வளைக்கப்படுகிறது.
வட்டத்தின் சுற்றளவு=சதுரத்தின் சுற்றளவு
வட்டத்தின் சுற்றளவு=2πr
                                           =2*22/7*35
                                          P=220செ.மீ
a என்பது சதுரத்தின் பக்கம் 
சதுரத்தின் சுற்றளவு=4a
                                        4a=220
 சதுரத்தின் பக்கம் a=55செ.மீ.
முடிவு:
வட்டம், சதுரத்தின் சுற்றளவினைத் தொகுத்துக் கூறல்.

கூட்டு உருவங்கள்

ஆர்வமூட்டல்:
        பரப்பளவு என்றால் என்ன?
       சுற்றளவு  என்றால் என்ன?
       கூட்டு உருங்கள் என்றால் என்ன?
விளக்குதல்:
       நிழலிட்ட பகுதியின் பரப்பளவு காண்க.

கூட்டு உருவமானது அரைவட்டங்கள் 1,2,3 இணைந்தது ஆகும்.

நிழலிட்ட பகுதியின் பரப்பளவுA =அரைவட்டம் 1+2+3_ன் பரப்பளவு
                          A=(πr1^2)/2+(πr2^2)/2+(πr3^2/2)
                             =((22*5*5)/(7*2))+((22*4*4)/(7*2))+((22*3*3)/(7*2))
                             =(275/7)+(176/7)+(99/7)
                              =550/7=78.571ச.செ.மீ.
முடிவு:
     நிழலிட்ட பகுதியின் பரப்பளவு காண்பதை தொகுத்துக் கூறல்.

கூட்டு உருவங்கள்(l1)

ஆர்வமூட்டல்:
         உங்களுக்குத் தெரிந்த வடிவங்களைக் கூறுக.
        முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் எத்தனை?
        சதுரத்தின் பக்கங்கள் எத்தனை?
விளக்குதல்:
       இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட உருவங்களை ஒன்றின் பக்கத்தில் மற்றொன்றை வைத்தால் புது உருவம் கிடைக்கிறது. இவை கூட்டு உருவங்கள் எனப்படும். 
      
      

முடிவு:
     கூட்டு உருவங்களின் பரப்பளவு காண்பதை தொகுத்துக் கூறல்.

பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வகுத்தல் (l2)

ஆர்வமூட்டல்:
           அடிப்படை கணித செயல்பாடுகள்?
            13/5=?
              ஈவு என்றால் என்ன?
விளக்குதல்:
            P(x) மற்றும் g(x) ஆகிய இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் p(x)ன் படி  >_  g(x) ன் படி மற்றும் g(x)=/=0 எனில்  q(x)  & r(x) என்ற தனித்த பல்லுறுப்புக் கோவைகள்
        P(x)=g(x)*q(x)+r(x) என்று கிடைக்கும்.
p(x)=வகுபடும் எண்
g(x)=வகுத்தி
q(x)=ஈவு
r(x)=மீதி
வகுத்தல் விதி
வகுபடும் கோவை=(வகுக்கும் கோவை*ஈவு)+மீதி.
X^3-4X^2+6X ஐ x ஆல் வகுக்க.
தீர்வு:
(X^3-4X^2+6X) /X=x^3/x-4x^2/x+6x/x
                               =x^2-4x+6
முடிவு:

பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கான வகுத்தல் விதி மற்றும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளை வகுத்து ஈவு மற்றும் மீதியை காண்பதை தொகுத்துக் கூறல்.

சுதந்திர தின விழா

வ.உ.சி வாழ்க்கை வரலாறு - நாடகம் 

பல்லறுறுப்புக் கோவையின் மதிப்பு மற்றும் பூச்சியங்கள்

ஆர்வமூட்டல்:
              (2,3) என்ற புள்ளியில் x ன் மதிப்பைக் காண்க.
               (-1,2) என்ற புள்ளி எந்த கால் பகுதியில் அமையும்?
                X=-3 எந்த அச்சின் மீது அமையும்?
விளக்குதல்:
   பல்லறுறுப்புக் கோவையின் மதிப்பு
          P(x) என்ற பல்லறுறுப்புக் கோவையில் x=a  எனப் பிரதியிட அதன் மதிப்புp(a) எனக் கிடைக்கும்.
f(x)= x^2+3x^2-1 என்ற பல்லறுறுப்புக் கோவையில் x=2 எனும் போது
 f(x) ன் மதிப்பு f(2)= 2^2+3(2)-1=4+6-1=9
 பல்லறுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்கள்
      நேர்கோடு அல்லது வளைவரையானது    x அச்சை வெட்டும் புள்ளிகளைப் பொறுத்து அதன் பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை அமையும்.
X=a எனும் போது  பல்லறுறுப்புக் கோவை f(x)ன் மதிப்பு பூச்சியமானால்  a என்பது f(x)ன் பூச்சியமாகும். 
f(x)= x^3-4x+3 ல் x=1 எனும் போது f(x)=1^3-4(1)+3=0 . எனவே 1 என்பது f(x)ன் பூச்சியமாகும்.
முடிவுரை:
             பல்லறுறுப்புக் கோவையின் மதிப்பு மற்றும் பூச்சியங்களை தொகுத்துக் கூறல்.

பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் எண் கணிதம்(l2)

ஆர்வமூட்டல்:

        பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின்  திட்ட வடிவம் என்ன?

        பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின்  படி வரையறு?

        பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் வகைகள் யாவை?

        அடிப்படை எண்கணித செயல்பாடுகள் யாவை?

விளக்கம்:

•   பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் கூட்டல்

               இரண்டு   பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் கூடுதலும் மற்றொரு   பல்லறுறுப்புக் கோவையாகும்.

எ.கா:   3x^2+5x^2=8x^2

•   பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் கழித்தல்

               இரண்டு   பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் கழித்தல் மற்றொரு   பல்லறுறுப்புக் கோவையாகும்.

எ.கா: 8x^2-5x^2=3x^2

• இரு  பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் பெருக்கல்

  இரண்டு   பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் பெருக்குத் தொகையும் ஒரு   பல்லறுறுப்புக் கோவையாகும்.

எ.கா:(x+1)(3x+2)=3x^2+5x+2
முடிவுரை:
            பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் எண் கணித செயல்பாடுகளான கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் ஆகியவற்றை தொகுத்துக் கூறுகிறார்.

பல்லுறுப்புக் கோவைகள்(l2)

ஆர்வமூட்டல்:
                     மாறி என்றால் என்ன?
                     மாறிலி என்றால் என்ன?
                     உறுப்பு என்றால் என்ன?
விளக்கம்:
             பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் வகைகள்
1-உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை அடிப்படையில்
     * ஓருறுப்புக் கோவை
     * ஈருறுப்புக் கோவை
     * மூவுறுப்புக் கோவை
2-படியின் அடிப்படையில்
     *  மாறிலிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை
     * ஒரு படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை
     * இரு படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை
      * முப்படிப் பல்லறுறுப்புக் கோவை
முடிவுரை:
       பல்லறுறுப்புக் கோவைகளின் வகைகளை தொகுத்துக் கூறுகிறார்.

கால் வட்டம்

ஆர்வமூட்டல்: 

   ராகுல் தன்னுடைய நண்பர்களுக்கு விருந்தளிக்க முழு வட்ட வடிவ பீட்சா வாங்கி வந்தான். தனக்கும் தன்னுடைய 3 நண்பர்களுக்குமாக நான்கு சமமான பகுதிகளாக பிரித்தான். ஒவவொருவருக்கும் நான்கில் ஒரு பங்கு பீட்சா கிடைத்தது.

விளக்குதல்: 

வட்டத்தை அதன் செங்குத்து விட்டங்களின் வழியே பிரிக்கும் போது நான்கு சமமான பகுதிகள் கிடைக்கும். ஒவ்வொரு பகுதியும் கால்வட்டம் எனப்படும்.

கால் வட்டத்தின் மையக் கோணம் 90° ஆகும்.

கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு A= 1/4*வட்டத்தின் பரப்பளவு

                                                           =  πr^2/4ச.அ.

கால் வட்டத்தின் சுற்றளவு P = 1/4*வட்டத்தின் சுற்றளவு+2 r

                                                           =(π/2+2)rஅ

எ.கா:

     21செ.மீ ஆரமுள்ள கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு சுற்றளவு காண்க:-

தீர்வு:

கால் வட்டத்தின் பரப்பளவு A=πr^2/4

                                                           =((22/7)*21*21)/4

                                                         A=346.5ச.செ.மீ

கால்வட்டத்தின் சுற்றளவு  P =(π/2+2)*r

                                                          =((22/7*2)+2)*21

                                                         P=75செ.மீ

தொகுத்துரைத்தல்:

கால்வட்டத்தின் வரையறை, மையக்கோணம், பரப்பளவு, சுற்றளவு ஆகியவற்றை தொகுத்துக் கூறல்.

அரைவட்டம்

ஆர்வமூட்டல்

         பௌர்ணமி முடிந்து ஏழு நாட்களுக்குப் பின் நிலவின் வடிவம் என்ன?

         வானவில்லின் வடிவம் என்ன?

          பாகைமானியின் வடிவம் என்ன?

விளக்குதல்:

        வட்டத்தை விட்டம் பிரிப்பதால் கிடைக்கும் இரு சம பகுதிகள் அரைவட்டம் எனப்படும். அரை வட்டத்தின் மையக்கோணம் 180° ஆகும்.

அரைவட்டத்தின் பரப்பளவு= 1/2*(வட்டத்தின் பரப்பளவு)

                                                        =πr^2/2ச.அ

அரைவட்டத்தின் சுற்றளவு =1/2*(வட்டத்தின் சுற்றளவு)+2r

                                                        =1/2*2πr+2r

                                                        =(π+2)r அ 

எ.கா: 14செ.மீ ஆரமுள்ள அரைவட்டத்தின் பரப்பளவு, சுற்றளவு காண்க:-

தீர்வு:

    அரைவட்டத்தின் பரப்பளவு,A= πr^2/2

                                                               =(22/7*14*14)/2

                                                           A  =308ச.செ.மீ

   அரைவட்டத்தின் சுற்றளவு,P =(π+2)rஅ

                                                              =(22/7+2)*14

                                                          P =72செ.மீ 

தொகுத்துரைத்தல்:

                            ஆசிரியர் மாணவர்களுக்கு அரைவட்டத்தின் வரையறை, மையக் கோணம், பரப்பளவு, சுற்றளவு ஆகியவற்றை தொகுத்துக் கூறுகிறார்.